Корректно поставленные задачи

Корректно поставленные задачи

Лекция №14

Интегральные уравнения

Корректно поставленные задачки

Постановка задачки. Интегральным именуют уравнение, в каком неведомая функция u(x) заходит под символ интеграла. В одномерном случае интегральное уравнение имеет последующий вид:

, (1)

где ядро K(x,x,u) и правая часть F(x,u) числятся данными функциями. Посреди нелинейных интегральных уравнений вида (1) различают нелинейные Корректно поставленные задачи уравнения Урысона и Гоммерштейна:

соответственно.

В качестве примера интегрального уравнения можно привести задачку восстановления переданного радиосигнала u(t) по принятому сигналу f(t) согласно решению интегрального уравнения типа свертки:

. (2)

В (2) ядро K(x) определяется качествами приемной аппаратуры и окружающей сигнал среды.

Отметим то событие, что уравнения в личных производных нередко Корректно поставленные задачи являются следствием законов сохранения, которые могут выступать в форме интегральных уравнений. К примеру, уравнения Навье-Стокса, применяемые для описания сплошной среды, являются следствием законов сохранения массы, импульса и энергии плюс соответственных критерий гладкости, наложенных на неведомые величины. Данное событие было не один раз применено в прошлых лекциях при построении ограниченных Корректно поставленные задачи разностных схем.

Если переход от обычных дифференциальных уравнений к уравнениям в личных производных является принципным усложнением, переход в интегральном уравнении к многомерному случаю естественен и состоит в формальной подмене в (1) переменных x и x на надлежащие векторы x = (x1,…,xp) Î G, x = (x1,…,xp) Î G и проведении интегрирования Корректно поставленные задачи по области G.

В предстоящем разглядим некие личные случаи одномерного уравнения (1).

Более отлично исследованы линейные интегральные уравнения, когда неведомая функция u заходит в интегральное уравнение линейно. К примеру, линейное уравнение

, (3)

именуют уравнением Фредгольма второго рода. Если ядро K(x,x) = 0 при x < x, т.е. ядро отлично от нуля на Корректно поставленные задачи треугольной области, то уравнение (3) перебегает в уравнение, которое принято именовать уравнением Вольтерра второго рода:

. (4)

Если в уравнениях (3), (4) откинуть член u не входящий под символ интеграла, то получим уравнения Фредгольма и Вольтерра первого рода. Уравнения первого рода являются неправильно поставленными и подвергнутся рассмотрению дальше специально. Уравнения второго рода являются корректными Корректно поставленные задачи. Разглядим их более тщательно.

Для однородного уравнения Фредгольма второго рода (3) ставится задачка на собственные значения:

. (5)

Задачка на собственные значения (5) состоит в поиске таких l = li, при которых уравнение (5) имеет нетривиальные решения u = ji. В данном случае li именуются своими значениями ядра K(x,x), а ji — его своими функциями. Если Корректно поставленные задачи ядро вещественное и симметричное, т.е. K(x,x) = K(x,x) = K*(x,x), то оно имеет, по последней мере, одно собственное значение. Все собственные значения такового ядра вещественны, а его собственные функции ортогональны друг дружке. Отметим, что система функций ji может быть неполной и даже конечной.

Неоднородное Корректно поставленные задачи уравнение Фредгольма (3) при значении параметра l, хорошего от хоть какого из собственных значений li ядра, имеет единственное решение u(x), которое для симметричного ядра может быть представлено в виде разложения Шмидта:

. (6)

Если ядро K(x,x) и правая часть f(x) интегрируемы с квадратом, то ряд в (6) сходится полностью Корректно поставленные задачи и умеренно. Из (6) видно, что при l ¹ li решение u(x) существует, единственно и безпрерывно находится в зависимости от f(x), т.е. задачка (3) корректна. Если параметр l равен одному из собственных значений li, тогда неоднородное уравнение Фредгольма (3) может не иметь решения либо иметь их огромное Корректно поставленные задачи количество при особом выборе правой части. Другими словами, при l = li задачка (3) является неправильно поставленной.

Уравнение Вольтерра не имеет собственных значений, потому неоднородное уравнение (4) всегда имеет единственное решение.

Разностный способ. Проиллюстрируем внедрение разностного способа на примере численного решения нелинейного интегрального уравнения

, (7)

взятого с сайта[1]. Там же приведен аналитический способ решение уравнения Корректно поставленные задачи (7), который дает пару решений:

. (7¢)

Введем сетки по переменным x и x Î [0,1]: xn = h(n - 1), n = 1,…,N, xm = hm, m = 1,…,N, h = 1/(N - 1). Аппроксимируем интеграл в (7) по формуле трапеции и запишем уравнение (7) в узлах сетки, тогда, считая, что yn » u(xn), получим

. (8)

Нелинейную систему алгебраических уравнений (8) будем решать способом поочередных приближений по Корректно поставленные задачи формуле

, (9)

где s = 2,3,… — номер итерации в способе поочередных приближений, а — случайное изначальное приближение.

На листинге_№1 приведен код программки численного решения интегрального уравнения (7) способом поочередных приближений согласно схеме (9). Процедура повтора итераций прекращалась согласно аспекту: , где e > 0 — малый параметр точности, который находится в нашем распоряжении.

Листинг_№1

%Численное решение интегрального Корректно поставленные задачи уравнения (7)

%при помощи разностной схемы (9) в комплексе с

%способом поочередных приближений

clear all

%Определяем точность сходимости итераций eps и

%наибольшее количество итераций smax

eps=1e-5; smax=30;

%Определяем число узлов в разностной схеме

%и шаг сетки

N=101; h=1.0/(N-1);

%Определяем сетку по x

x=0:h:1;

%Определяем изначальное рассредотачивание решения

%в способе поочередных приближений

for n=1:N

y(n)=0.1*randn;

end

%Оцениваем отличие исходного рассредотачивания

%решения от Корректно поставленные задачи аналитического решения (7') в

%норме C

for n=1:N

z(n)=абс(y(n)-x(n)+1-sqrt(2.0/3));

end

error(1)=max(z);

%Рисуем изначальное рассредотачивание в виде красноватой

%полосы

subplot(1,2,1);

plot(x,y,'Color','red','LineWidth',1.5);

hold on

s=1; er=1;

%Организуем цикл поочередных приближений

%к разыскиваемому решению согласно схеме (9)

while (er>eps)&(s

for n=1:N

I=0.5*(y Корректно поставленные задачи(1)^2+y(N)^2);

for m=2:(N-1)

I=I+y(m)^2;

end

y2(n)=x(n)-h*I;

end

%Находим разность меж новейшей и предшествующей

%итерациями

for n=1:N

z(n)=абс(y2(n)-y(n));

end

%Оцениваем ошибку сходимости в норме C

er=max(z);

y=y2;

s=s+1;

subplot(1,2,1); plot(x,y,'LineWidth',1.5);

hold on

%Находим Корректно поставленные задачи разность меж текущей итерацией и

%аналитическим решением (7')

for n=1:N

z(n)=абс(y(n)-x(n)+1-sqrt(2.0/3));

end

error(s)=max(z);

end

%Определяем аналитическое решение

for n=1:N

ya(n)=x(n)-1+sqrt(2.0/3);

end

%Рисуем аналитическое решение темной жирной линией

subplot(1,2,1);

plot(x,ya,'Color','black','LineWidth',3);

%Рисуем график зависимости ошибки численного решения

%от шага итерации

subplot(1,2,2);

semilogy(1:s,error Корректно поставленные задачи,'LineWidth',2);

На рис.1 приведен результат работы кода программки листинга_№1. На левом рисунке изображены графики поочередных итераций, которые сходятся к аналитическому решению . Случайная кривая, изображенная красноватой линией, выступала в качестве исходного приближения в процедуре поочередных приближений. Темной жирной линией изображено аналитическое решение . На правом графике изображена зависимость ошибки численного Корректно поставленные задачи решения error = от номера итераций. Видна достаточно высочайшая скорость сходимости. Отметим, что 2-ое аналитическое решение не удается воспроизвести согласно численной процедуре (9), т.к. итерации расползаются.

Рис.1. Численное решение интегрального уравнения (7) при помощи
способа поочередных приближений (9)

Разглядим дальше линейные задачки. Для линейных задач обоснование сходимости содержится в теории Фредгольма, которая Корректно поставленные задачи тут не приводится из-за собственной громоздкости[2]. Пусть для аппроксимации интеграла, взятого на отрезке [a,b], употребляется одна из линейных квадратурных формул с узлами xn, и весами cn, n = 1,…,N, т.е.

. (10)

Применим формулу (10) к однородному уравнению Фредгольма (5), тогда получим

. (11)

Система (11) представляет собой систему на определение собственных значений матрицы K¢ Корректно поставленные задачи; с элементами . Матрица K¢ имеет N собственных значений, которые являются приближением к первым своим значениям ядра K(x,x). Разностное уравнение (11) решают при помощи способов, разобраны в лекции №6, посвященной дилемме собственных значений.

Изучим задачку (11) на примере решения однородного уравнения Фредгольма (5) с простым ядром K(x,x) = xx. Для данного Корректно поставленные задачи ядра существует одно-единственное собственное значение и собственная функция u(x) = Cx, где C — случайная константа. Выбирая формулу трапеции при аппроксимации интеграла, перепишем уравнение (11) для данного определенного варианта в последующем виде:

, (12)

где xn = a + h(n - 1), xm = a + h(m - 1), n, m = 1,…,N, h = (b - a)/(N Корректно поставленные задачи - 1). Задачку (12) на поиск собственных значений l-1 будем решать численно, используя встроенную в MATLAB функцию eig. На листинге_№2 приведен код соответственной программки.

Листинг_№2

%Программка поиска собственного значения для

%однородного уравнения Фредгольма (5) согласно

%разностной схеме (12)

clear all

%Определяем отрезок интегрирования [a,b] и

%изначальное значение для числа узлов сетки

a=0; b=1; N=4;

%Определяем цикл удвоения числа узлов Корректно поставленные задачи сетки

for s=1:7

N=2*N; h=(b-a)/(N-1);

%Определяем сетки по x и xi

x=a:h:b; xi=a:h:b;

%Формируем матрицу левой части уравнения (12)

for n=1:N

A(n,1)=0.5*h*x(n)*xi(1);

for m=2:(N-1)

A(n,m)=h*x(n)*xi(m);

end

A(n,N)=0.5*h*x Корректно поставленные задачи(n)*xi(N);

end

%Оцениваем численно собственное значение

lambda=1/max(eig(A));

%Численную ошибку оценки собственного значения

%делим на квадрат шага сетки

const(s)=абс((3.0/(b^3-a^3))-lambda)/h^2;

step(s)=h;

end

%Рисуем зависимость предстепенной константы от

%шага сетки

semilogx(step,const);

На рис.2 приведен результат работы кода программки листинга_№2. График изображает зависимость Корректно поставленные задачи величины const в оценке ошибки приближенно вычисленного собственного значения l от шага сетки h. Из графика видно, что при шаге сетки, стремящемся к нулю, величина const вправду выходит на некое неизменное значение, т.е. разностная схема (12) обеспечивает 2-ой порядок аппроксимации в оценке неведомого собственного значения. Это не умопомрачительно, т.к Корректно поставленные задачи. формула трапеции, применяемая при аппроксимации интеграла, имеет, как понятно, 2-ой порядок точности.

Рис.2. Оценка скорости сходимости численно отысканного собственного значения
однородного уравнения Фредгольма второго рода к четкому собственному значению

Беря во внимание аппроксимацию интеграла (10), для неоднородного уравнения Фредгольма второго рода (3) можно записать последующую разностную схему:

. (13)

Система уравнений (13) просто может быть решена Корректно поставленные задачи способом исключения Гаусса, когда l ¹ li, i = 1,…,N, где li, i = 1,…,N — собственные значения конечно-разностной задачки для соответственного однородного уравнения Фредгольма второго рода. Обычно собственные значения ядра неопознаны. Потому для обнаружения и исключения варианта l » li, i = 1,…,N, расчеты следует проводить на последовательности сгущающихся сеток Корректно поставленные задачи. Если при сгущении сетки yn сходится к некому решению u(x), то это и есть разыскиваемое решение. Если на одной из сеток расчет выпадает из общей закономерности, то имело место случайное совпадение l » li. Если на всех сетках решение yn не сходится к лимиту при h ® 0, то l » li.

Разглядим пример Корректно поставленные задачи численного решения уравнения[3]

, (14)

которое имеет четкое, но достаточно громоздкое решение. Аппроксимируем интеграл в (14) по формуле трапеции, тогда получим последующую разностную схему:

, (15)

где n = 1,…,N. На листинге_№3 приведен код программки численного решения уравнения (14) по разностной схеме (15).

Листинг_№3

%Программка численного решения уравнения Фредгольма

%второго рода специального вида (14) по разностной

%схеме (15)

function fredh2

%Определяем Корректно поставленные задачи константу lambda

lambda=-2;

%Определяем отрезок интегрирования [a,b] и

%изначальное значение для числа узлов сетки

a=0; b=1; N=2;

%Определяем цикл расчетов с различными сетками

for s=1:9

N=N+3; h=(b-a)/(N-1);

%Определяем сетки по x и xi

x=a:h:b; xi=a:h:b;

%Формируем матрицу левой части уравнения (15)

for n=1:N

A(n Корректно поставленные задачи,1)=0.5*h*lambda*абс(x(n)-xi(1));

for m=2:(N-1)

A(n,m)=h*lambda*абс(x(n)-xi(m));

end

A(n,N)=0.5*h*lambda*абс(x(n)-xi(N));

A(n,n)=A(n,n)+1;

end

%Определяем правую часть уравнения (15)

for n=1:N

F(n)=f(x(n Корректно поставленные задачи));

end

%Решаем систему уравнений (15)

y=A\F';

%Рисуем приобретенное решение

plot(x,y,'LineWidth',(2*s-1)/s);

hold on

end

%Определяем правую часть уравнения (14)

function y=f(x)

y=sin(pi*x)^4;

Рис.3. Численное решение уравнения Фредгольма второго рода (14)
по разностной схеме (15)

На рис.3 приведен результат работы кода программки листинга_№3. Расчеты проводились на разных Корректно поставленные задачи все более сгущающихся сетках. Это отражено на рис.3 в виде все более утолщающихся линиях на все более подробных сетках. Видно, что численное решение yn сходится к некому решению по мере измельчения шага сетки h, т.е. выбранное значение l = -2 не является своим значением ядра уравнения (14).

Уравнение Вольтерра (4) выходит из уравнения Фредгольма Корректно поставленные задачи (3) методом учета того, что K(x,x) = 0 при x < x. В данном случае алгебраическую систему уравнений (13) можно переписать в виде:

. (16)

Система уравнений (16) решается оборотным ходом способа Гаусса, так как обращаемая матрица является нижней треугольной.

Разглядим пример решения уравнения Вольтерра (4) по разностной схеме на примере решения уравнения

, (17)

которое, согласно[4], имеет Корректно поставленные задачи аналитическое решение

. (18)

Как и выше воспользуемся квадратурной формулой трапеции, тогда разностная схема для решения уравнения (17) предстанет в виде:

(19)

На листинге_№4 приведен код программки численного решения уравнения Вольтерра (17) при помощи разностной схемы (19).

Листинг_№4

%Программка численного решения уравнения

%Вольтерра (17) по разностной схеме (19)

function volterra

%Определяем отрезок интегрирования [a,b] и

%изначальное значение для числа узлов Корректно поставленные задачи сетки

a=0; b=1; N=4;

%Определяем цикл расчетов с различными сетками

for s=1:8

N=N+6; h=(b-a)/(N-1);

%Определяем сетки по x и xi

x=a:h:b; xi=a:h:b;

%Вычисляем значения искомого решения

%согласно формулам (19)

y(1)=f(x(1));

y(2)=f(x(2))-0.5*h*sinh(x(2)-xi(1))*y(1);

for n=3:N

I Корректно поставленные задачи=0;

for m=2:(n-1)

I=I+sinh(x(n)-xi(m))*y(m);

end

y(n)=f(x(n))-0.5*h*sinh(x(n)-xi(1))*y(1)-h*I;

end

%Рисуем приобретенное решение

plot(x,y,'LineWidth',(2*s-1)/s);

hold on

end

%Определяем правую часть уравнения (17)

function y=f(x)

y=sin(2*pi*x)^2;

На рис.4 приведен Корректно поставленные задачи итоговый график работы кода программки листинга_№4. Расчеты проводились на серии все более сгущающихся сетках. Ясно видно, что численное решение, по мере измельчение шага сетки, сходится к решению уравнения Вольтерра. Сходимость иллюстрируется увеличивающейся шириной линией изображающей численное решение для все более подробных сеток.

Рис.4. Численное решение уравнения Вольтерра (17) при помощи
разностной Корректно поставленные задачи схемы (19)

Способ поочередных приближений. Для неоднородного уравнения Фредгольма второго рода (3) запишем итерационный процесс:

, (20)

где s = 0,1,2,…, u0(x) = 0 — нулевое изначальное рассредотачивание для решения u. Покажем, что при ограниченном ядре и довольно малом значении |l| итерационный процесс сходится к решению уравнения (3).

Подтверждение. Определим погрешность s-й итерации через zs = us(x Корректно поставленные задачи) - u(x). Вычитая (3) из (20), найдем

. (21)

Согласно (21), можно получить последующую оценку:

, (22)

где . Таким макаром, согласно (22), итерации при q < 1 сходятся умеренно по x, при этом сходимость линейная. Последнее неравенство всегда можно обеспечить, выбирая довольно малым параметр l.

Способ поочередных приближений для уравнения Вольтерра (4) сходится умеренно по x при всех значениях параметра l Корректно поставленные задачи. Рассуждая аналогично предшествующему случаю, можно записать

. (23)

Проводя рассуждения, подобные подтверждению сходимости способа Пикара (8.6) — (8.10), получим оценку

. (24)

При s ® ¥ правая часть неравенства (24) стремится к нулю при всех значениях параметра l, что и обосновывает наше утверждение.

Для примера разглядим численное решение уравнения Вольтерра (17) способом поочередных приближений, следуя формуле

(25)

Аппроксимируя интеграл, входящий в (25), по формуле Корректно поставленные задачи трапеции, получим последующую расчетную схему:

(26)

На листинге_№5 приведен код программки, в какой решается уравнение Вольтерра (17) способом поочередных приближений в форме (25), (26). Итерационный процесс прерывался при условии, что , где e > 0 — параметр точности сходимости итераций.

Листинг_№5

%Программка численного решения уравнения

%Вольтерра (17) способом поочередных

%приближений согласно уравнению (25)

function volt_iter

%Определяем точность сходимости итераций eps и

%наибольшее Корректно поставленные задачи число итераций itmax

eps=1e-6; itmax=10;

%Определяем отрезок интегрирования [a,b]

a=0; b=1;

%Определяем число узлов в сетке и шаг сетки

N=101; h=(b-a)/(N-1);

%Определяем сетки по x и xi

x=a:h:b; xi=a:h:b;

%Определяем характеристики итерационного процесса

er=1; iter=0;

%Рисуем исходную итерацию u0(x)=0 пунктирной

%линией

y=zeros(1,N); plot Корректно поставленные задачи(x,y,'--');

hold on

%Организуем цикл итераций

while (er>eps)&(iter

%Вычисляем значения y2 для s+1 итерации

%согласно формулам (26)

y2(1)=f(x(1));

y2(2)=f(x(2))-0.5*h*sinh(x(2)-xi(1))*y(1);

for n=3:N

I=0;

for m=2:(n-1)

I=I+sinh(x(n)-xi(m))*y(m);

end

y2(n)=f(x(n))-0.5*h*sinh Корректно поставленные задачи(x(n)-xi(1))*y(1)-h*I;

end

%Оцениваем разницу s+1-й и s-й итераций в норме C

for n=1:N

z(n)=абс(y2(n)-y(n));

end

er=max(z);

iter=iter+1;

y=y2;

%Рисуем приобретенное решение

plot(x,y,'LineWidth',(3*iter-1)/iter);

hold on

end

%Выводим число итераций и ошибку er=||y(s Корректно поставленные задачи+1) - y(s)||c

[iter er]

%Определяем правую часть уравнения (17)

function y=f(x)

y=sin(2*pi*x)^2;

На рис.5 приведен результат работы кода программки листинга_№5. Было осуществлено численное решение уравнения Вольтерра (17) способом поочередных приближений согласно расчетной формуле (26). Расчеты проявили, что довольно 6 итераций для заслуги точности сходимости e = 10-6. На рис.5 пунктирной Корректно поставленные задачи линией обозначена нулевая итерация u0(x) = 0. Следующие итерации представлены линиями с все большей шириной и, начиная с третьей итерации, в имеющемся масштабе полосы уже не различаются. Таким макаром, способ поочередных итераций является очень действенным для решения уравнений Вольтерра второго рода.

Рис.5. Численное решение уравнения Вольтерра (17) при помощи
способа поочередных Корректно поставленные задачи приближений (25), (26)

Способ подмены ядра вырожденным. Ядро уравнения Фредгольма именуется вырожденным, если оно может быть представлено в виде конечной суммы

. (27)

Решение уравнения Фредгольма с вырожденным ядром (27) осуществляется за конечное число шагов. Покажем это. Подставим ядро (27) в уравнение Фредгольма (3), тогда получим

, (28)

где

. (29)

Подставляя (28) в (29), найдем систему N линейных уравнений для нахождения коэффициентов a1,…,aN Корректно поставленные задачи:

. (30)

Из (28) — (30) следует, что вырожденное ядро (27) имеет ровно N собственных значений.

В качестве численного примера разглядим решение уравнения Фредгольма, имеющего последующий вид:

. (30)

Ядро K(x,x) уравнения (30) может быть разложено в ряд Фурье по переменной x:

. (31)

Разглядим сейчас ограниченный отрезок ряда (31), отбросив нескончаемый остаток, т.е. перейдем от ядра K Корректно поставленные задачи(x,x) к вырожденному ядру

. (32)

Заменяя в уравнении (30) ядро K(x,x) = cos(xx) на вырожденное ядро , представленное в (32), получим уравнение относительно неведомой функции y(x):

. (33)

Изучим сходимость решения y(x) уравнения (33) к некому лимиту при N ® ¥ методом решения системы линейных алгебраических уравнений (30) и восстановления решения по формуле (28). В данном Корректно поставленные задачи случае можно считать, что

(34)

На листинге_№6 приведен код программки решения интегрального уравнения (30) методом подмены ядра cos(xx) на вырожденное ядро (32), приобретенное методом разложения ядра в ряд Фурье с следующим отбрасыванием нескончаемого хвоста. Интегралы, входящие в (30), оценивались по формуле трапеции.

Листинг_№6

%Программка решения уравнения Фредгольма (30)

%методом подмены ядра на вырожденное ядро Корректно поставленные задачи (32), (33)

function degen_kernel

%Определяем параметр lambda, начальное число

%членов в разложении в ряд Фурье ядра, также

%число расчетов с различным числом учтенных

%слагаемых в разложении ядра в ряд Фурье (32)

lambda=1; N=4; lmax=8;

%Определяем габариты области интегрирования

a=-1; b=1;

%Определяем число узлов сетки по аргументу x и xi

Nint=51; h=(b-a)/(Nint-1);

%Определяем сетки по x Корректно поставленные задачи и xi

x=a:h:b; xi=a:h:b;

%Организуем цикл расчетов с различным числом учтенных

%слагаемых в разложении ядра в ряд Фурье (32)

for l=1:lmax

%Увеличиваем число слагаемых в разложении

%на единицу

N=N+1;

%Определяем систему линейных уравнений (30) в

%виде C alpha = d

for n=1:N

for m=1:N

I=0.5*B(n,xi(1))*A(m Корректно поставленные задачи,xi(1))+...

0.5*B(n,xi(Nint))*A(m,xi(Nint));

for k=2:(Nint-1)

I=I+B(n,xi(k))*A(m,xi(k));

end

C(n,m)=-lambda*h*I;

if n==m

C(n,m)=C(n,m)+1;

end

end

I=0.5*B(n,xi(1))*f(xi(1))+...

0.5*B(n,xi(Nint))*f(xi(Nint Корректно поставленные задачи));

for k=2:(Nint-1)

I=I+B(n,xi(k))*f(xi(k));

end

d(n)=h*I;

end

%Решаем систему уравнений C alpha = d

alpha=C\d';

%Определяем решение y по формуле (28)

for k=1:Nint

s=0;

for n=1:N

s=s+alpha(n)*A(n,x(k));

end

y(l,k)=f(x(k Корректно поставленные задачи))+lambda*s;

end

end

%Рисуем численное решение начального интегрального

%уравнения с наибольшим числом учтенных

%слагаемых в разложении ядра в ряд Фурье

subplot(1,2,1); plot(x,y(lmax,:));

%Находим разницу меж следующей и предшествующей

%итерациями в норме C

for l=1:(lmax-1)

for k=1:Nint

z(k)=абс(y(l+1)-y(l));

end

er(l)=max(z);

end

%Рисуем динамику разности следующей Корректно поставленные задачи и

%прошлых итераций в норме C от N -

%числа учтенных слагаемых в разложении (32)

subplot(1,2,2); semilogy(1:(lmax-1),er);

%Определяем функцию A(n,x)

function y=A(n,x)

if n==1

if x==0

y=1;

else

y=sin(x)/x;

end

else

y=((-1)^(n-1)*2*x*sin(x))/...

(x^2-(pi*(n-1))^2);

end

%Определяем функцию B(n,xi)

function y Корректно поставленные задачи=B(n,xi)

if n==1

y=1;

else

y=cos(pi*(n-1)*xi);

end

%Определяем правую часть интегрального уравнения

function y=f(x)

y=sin(pi*x^2);

Рис.6. Численное решение уравнения Фредгольма (30) методом
подмены ядра уравнения на вырожденное ядро(32)

На рис.6 приведен результат работы кода программки листинга_№6. На левом рисунке приведено численное решение Корректно поставленные задачи интегрального уравнения Фредгольма (30) способом подмены ядра на вырожденное ядро (32), приобретенное методом разложения начального ядра в ряд Фурье с следующим отбрасыванием нескончаемого хвоста разложения. Расчетов проводилось несколько с разным числом оставленных слагаемых N в разложении (32). Численное решение y(N) уравнения (33), приобретенное при неком N сравнивалось с предшествующим, т.е. с Корректно поставленные задачи y(N -1) на предмет сходимости к некому лимиту при N ® ¥. На правом рисунке приведена зависимость ошибки error = от числа учтенных слагаемых N. Можно следить достаточно резвое рвение ошибки к нулю и соответственно сходимость численного y(N) решения к некому лимиту при N ® ¥.

Неправильные задачки

Регуляризация. Если правая часть нелинейного Корректно поставленные задачи интегрального уравнения не находится в зависимости от решения, которое, таким образов, заходит только под символ интеграла, то задачка оказывается неправильно поставленной.

Традиционными примерами неправильных задач являются уравнение Фредгольма первого рода

(35)

и уравнение Вольтерра первого рода

. (36)

В отличие от уравнений Фредгольма и Вольтерра второго рода, ядро уравнения первого рода (35) определено на прямоугольнике (x Корректно поставленные задачи,x) Î [c,d]´[a,b], а ядро уравнения (36) — на трапеции (x,x) Î [c,d]´[a,x] при c < a либо на 2-ух треугольниках при c > a. При всем этом функции u(x) и f(x) определены на различных отрезках и принадлежат различным классам функций.

Покажем, что уравнение Фредгольма первого рода (35) нестабильно по Корректно поставленные задачи правой части и, тем, является неправильным. Разглядим возмущение решения du(x) специального вида, а конкретно du(x) = exp(iwx). Данному возмущению соответствует возмущение правой части вида:

.

Интегрируя последний интеграл по частям, находим

,

т.е. для довольно огромных частот |w| >> 1 величина может быть как угодно малой. Таким макаром, есть такие Корректно поставленные задачи сколь угодно малые возмущения правой части df(x), которым соответствуют огромные возмущения решения du(x), т.е. уравнение Фредгольма первого рода (35) является неправильным. Для уравнения Вольтерра (36) справедливы те же рассуждения относительно стойкости по правой части.

Отметим, что с неправильной задачей мы уже сталкивались, осуществляя численное дифференцирование в лекции №3. Вправду численное дифференцирование некой Корректно поставленные задачи функции f(x) сводится к решению уравнения

, (37)

которое является личным случаем уравнения Вольтерра первого рода с ядром K(x,x) = 1 при x £ x.

Задачки (35), (36) имеют решения не при всех непрерывных правых частях. К примеру, задачка (37) имеет решение только для дифференцируемых правых частей . Другой пример дает уравнение (35), когда ядро является вырожденным Корректно поставленные задачи типа (27). В данном случае правая часть f(x) должна быть представима в виде:

. (38)

Таким макаром, согласно (38), уравнение (35) имеет решения только для таких правых частей , которые представимы в виде (38). Для других правых частей решение задачки (35) не существует.

Приведенные выше два примера молвят о том, что даже если решения задач Корректно поставленные задачи (35), (36) и есть при неких правых частях , всегда найдутся такие возмущения df(x) правых частей, при которых решения не есть. Из этого ясно, что решать неправильные задачки при неточно данных правых частях глупо. Если правая часть задана с погрешностью df(x), то соответственное решение или не существует, или Корректно поставленные задачи отличается от искомого решения на величину , которая может быть большой. Даже в этом случае, когда правая часть задана точно, а решение находится одним из численных способов, неминуемы ошибки округления, что может привести к большой погрешности решения.

Определим регуляризирующий метод. Пусть требуется отыскать решение u(x) неправильной задачки:

, (39)

где A — некий Корректно поставленные задачи оператор,, U и F — нормированные места. Подразумевается, что для случайной правой части f(x) Î F решение задачки (39) может не существовать. Но могут существовать некие правые части , для которых существует решение .

Вместе с задачей (39), разглядим задачку

, (40)

в которую введен дополнительный член с малым положительным параметром регуляризации a.

Определение. Оператор Aa именуют регуляризирующим, если Корректно поставленные задачи 1) задачка (40) является корректно поставленной в классе правых частей F при любом (не очень большенном) a > 0 и 2) для хоть какого e > 0 есть такие функции a(d) и d(e), что если , то .

Отметим, что выбор функций a(d) и d(e) зависит, в том числе и от . Итак Корректно поставленные задачи, если найден регуляризирующий оператор Aa, то задачка (40) имеет решение для всех правых частей f(x) Î F, в том числе и для тех, которые отличаются от на всякую величину погрешности df(x), т.е. задачка является устойчивой и корректной и она может быть решена обыкновенными вычислительными способами. При верно подобранном Корректно поставленные задачи значении параметра a решение задачки (40) будет не много отличаться от интересующего нас решения задачки (39).

Различают регуляризацию слабенькую, сильную и p-го порядка гладкости зависимо от того является ли место U гильбертовым, чебышевским либо местом C(p)© соответственно.

Вариационный способ регуляризации состоит в сведении начальной задачки (35) к вариационной задачке:

, (41)

где

. (42)

Разглядим измененную задачку Корректно поставленные задачи (41) согласно формуле:

, (41¢)

где определен так именуемый тихоновский стабилизатор n-го порядка Wn, имеющий последующий вид:

. (42)

В (42) весовые функции pk(x) числятся непрерывными и положительными, а если нет особых критерий для их определения, то они полагаются единичными.

Если ввести на огромном количестве функций U норму , то данное место именуют Корректно поставленные задачи местом Соболева . Огромное количество правых частей будем считать гильбертовым местом. Покажем, что задачка (41¢) является регуляризирующей для решения неправильной задачки (35).

Аксиома №1. Задачка (41¢) имеет решение ua(x) при всех f(x) и a > 0.

Подтверждение. При a > 0 функционал ограничен снизу и при данных a и f(x) имеет Корректно поставленные задачи точную нижнюю грань. Выберем некую минимизирующую последовательность ui(x), i = 0,1,2,… так, чтоб последовательность не росла, при всем этом

,

тогда

. (43)

Согласно (43), последовательность ui(x), i = 0,1,2,… принадлежит огромному количеству функций u(x), которые определяются условием . Последнее огромное количество является компактом в U. Потому из последовательности ui(x), i = 0,1,2,… можно выделить подпоследовательность , k = 0,1,2,…, которая Корректно поставленные задачи сходится по норме к некой . В силу непрерывности функционал на функции добивается собственный нижней грани, т.е. функция является решением задачки (41¢), (42). Подтверждение завершено.

Аксиома №2. Задачка (41¢), (42) является регуляризирующей для задачки (41).

Подтверждение. Введем обозначения: пусть — решение начальной задачки (41), — решение измененной задачки (41¢) с приближенной правой частью . Определим также функцию .

Так Корректно поставленные задачи как функционал добивается минимума на , постольку . Беря во внимание последнее неравенство и определение функционала (41¢), получим

(44)

Пусть приближенная правая часть удовлетворяет условию

, (45)


korrekcii-svyazi-s-soveshatelnoj-palatoj-sanata-kumari-vladiki-mira.html
korrekcionnaya-programma-kommunikativnih-navikov-u-detej-doshkolnogo-vozrasta-sostavil-pedagog-psiholog-mdou-ds-4.html
korrekcionnaya-rabota-10-govoryashaya-kniga.html